Question

10．设f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（1-x）（a＞0）在[0，1]上的最小值为g（a）．
（1）求g（a）的表达式，并作出g=g（a）的图象；
（2）求y=g（a）的最大值，并指出g（a）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由题意化简f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（1-x）=（a-$\frac{1}{a}$）x+$\frac{1}{a}$；从而讨论a的范围，求f（x）在[0，1]上的最小值，从而得到g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a，0＜a＜1}\\{\frac{1}{a}，a≥1}\end{array}\right.$，运用分段函数的概念，画出g（a）的图象；
（2）由单调性，即可得到最大值，及单调区间．

解答 解：（1）f（x）=ax+$\frac{1}{a}$（1-x）=（a-$\frac{1}{a}$）x+$\frac{1}{a}$；
故①当a-$\frac{1}{a}$＜0，即0＜a＜1时，
g（a）=f（1）=a；
②当a-$\frac{1}{a}$≥0，即a≥1时，
g（a）=f（0）=$\frac{1}{a}$；
故g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a，0＜a＜1}\\{\frac{1}{a}，a≥1}\end{array}\right.$，图象如右：
（2）当0＜a＜1时，g（a）∈（0，1）；
当a≥1时，g（a）≤1．
故g（a）的最大值为1；
函数g（a）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的最值的求法及分段函数的应用，属于中档题．