Question

1．已知圆x²+y²=1过椭圆$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，过定点F（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，且AF=λBF，λ∈[$\frac{1}{3}$，3]．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆x²+y²=1与x轴相交于（±1，0），与y轴相交于（0，±1）．圆x²+y²=1过椭圆$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点，可得c=1．又圆与椭圆有且仅有两个公共点，可得b=1．再利用a²=b²+c²即可得出．
（2）当直线l的倾斜角为$\frac{π}{2}$时，λ=1，满足条件．当直线l的倾斜角α不为$\frac{π}{2}$时，设直线l的斜率为k，方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$，可得1-x₁=λ（x₂-1）．直线l的方程与椭圆方程联立化为（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，可得根与系数的关系，与x₁=1+λ-λx₂联立，化为2（k²+1）=$（\frac{1+λ}{1-λ}）^{2}$=$（\frac{2}{1-λ}-1）^{2}$，由于λ∈[$\frac{1}{3}$，3]，且λ≠1．可得k²≥1，解出即可得出．

解答 解：（1）圆x²+y²=1与x轴相交于（±1，0），与y轴相交于（0，±1）．
∵圆x²+y²=1过椭圆$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点，∴c=1．
又圆与椭圆有且仅有两个公共点，∴b=1．
∴a²=b²+c²=2．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）当直线l的倾斜角为$\frac{π}{2}$时，λ=1，满足条件．
当直线l的倾斜角α不为$\frac{π}{2}$时，设直线l的斜率为k，方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$，∴1-x₁=λ（x₂-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
化为（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
与x₁=1+λ-λx₂联立，解得x₂=$\frac{（2-2λ）{k}^{2}-（1+λ）}{（1-λ）（1+2{k}^{2}）}$，
x₁=$\frac{（2-2λ）{k}^{2}+（1+λ）}{（1-λ）（1+2{k}^{2}）}$，
∴$\frac{（2-2λ）{k}^{2}-（1+λ）}{（1-λ）（1+2{k}^{2}）}$×$\frac{（2-2λ）{k}^{2}+（1+λ）}{（1-λ）（1+2{k}^{2}）}$=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
化为2（k²+1）=$（\frac{1+λ}{1-λ}）^{2}$=$（\frac{2}{1-λ}-1）^{2}$，
∵λ∈[$\frac{1}{3}$，3]，且λ≠1．
∴k²≥1，解得k≥1或k≤-1，
∴α∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$∪$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$．
综上可得：α∈$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$．

点评 本题考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．