Question

如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若的面积是20，求此时椭圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）由椭圆方程可知。将代入椭圆方程可得，分析可知点在第一象限，所以。由两直线平行斜率相等，可得，解得，所以，从而可得离心率。（2）由（1）可得，即直线的斜率为，所以直线的斜率为，又因为过点可得直线的方程为，将此直线方程与椭圆方程联立消去得关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。可将分割长以为同底的两个三角形，两三角形的高的和为（还可用弦长公式求在用点到线的距离公式求高，然后再求面积）。根据三角形面积为可求的值，从而可得椭圆方程。
（1）易得   5分
（2）设直线PQ的方程为 ．代入椭圆方程消去x得：
，整理得：
∴
因此a²＝50，b²＝25，所以椭圆方程为            12分