题目内容
【题目】设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;
(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.
【答案】(Ⅰ)当时,
<0,
单调递减;当
时,
>0,
单调递增;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
试题本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第(Ⅰ)问,对求导,再对a进行讨论,判断函数的单调性;第(Ⅱ)问,利用导数判断函数的单调性,从而证明结论,第(Ⅲ)问,构造函数
=
(
),利用导数判断函数
的单调性,从而求解a的值.
试题解析:(Ⅰ)
<0,
在
内单调递减.
由
=0有
.
当时,
<0,
单调递减;
当时,
>0,
单调递增.
(Ⅱ)令=
,则
=
.
当时,
>0,所以
,从而
=
>0.
(Ⅲ)由(Ⅱ),当时,
>0.
当,
时,
=
.
故当>
在区间
内恒成立时,必有
.
当时,
>1.
由(Ⅰ)有,而
,
所以此时>
在区间
内不恒成立.
当时,令
=
(
).
当时,
=
.
因此,在区间
单调递增.
又因为=0,所以当
时,
=
>0,即
>
恒成立.
综上,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了个网箱,测量各水箱产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下图所示.
(1)若用频率视为概率,记表示事件“旧养殖法的箱产量低于
kg”,求事件
的概率;
(2)填写以下列联表,并根据此判断是否有
的把握认为箱产量与养殖方法有关?
箱产量 | 箱产量 | 合计 | |
旧养殖方法 | |||
新养殖方法 | |||
合计 |
(3)根据箱产量频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到)