题目内容
已知过抛物线x2=4y的焦点,斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)若点C(x3,y3)是抛物线弧AB上的一点,求△ABC面积的最大值,并求出点C的坐标.
(1)求直线l的方程;
(2)若点C(x3,y3)是抛物线弧AB上的一点,求△ABC面积的最大值,并求出点C的坐标.
(1)抛物线x2=4y的焦点(0,1),
设直线AB的方程是y=kx+1,
联立
,整理得x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,
由抛物线定义得:|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=8,
∴k2=1,k=±1.
∵k>0,∴k=1,直线方程为:y=x+1.
(2)设与直线l平行的直线方程为y=x+m,
由题意可知当该直线与抛物线相切时,该切点到直线l的距离最大,
y′=
x,令
x=1,解得x=2.
∴点C(2,1),点C到直线AB距离d=
,
(S△ABC)max=
•
•8=4
.
设直线AB的方程是y=kx+1,
联立
|
∴x1+x2=4k,
由抛物线定义得:|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=8,
∴k2=1,k=±1.
∵k>0,∴k=1,直线方程为:y=x+1.
(2)设与直线l平行的直线方程为y=x+m,
由题意可知当该直线与抛物线相切时,该切点到直线l的距离最大,
y′=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴点C(2,1),点C到直线AB距离d=
2 |
(S△ABC)max=
1 |
2 |
2 |
2 |
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