题目内容
【题目】已知向量 =(cosx+sinx,1), =(cosx+sinx,﹣1)函数g(x)=4 .
(1)求函数g(x)在[ , ]上的值域;
(2)若x∈[0,2016π],求满足g(x)=0的实数x的个数;
(3)求证:对任意λ>0,都存在μ>0,使g(x)+x﹣4<0对x∈(﹣∞,λμ)恒成立.
【答案】
(1)解:向量 =(cosx+sinx,1), =(cosx+sinx,﹣1),
∴函数g(x)=4 =4sin2x.
∵x∈[ , ],
∴2x∈[ , ],
∴sin2x∈[ ,1],
∴g(x)∈[2,4];
(2)解:g(x)=0,可得x= ,k∈Z,
∵x∈[0,2016π],∴ ∈[0,2016π],∴k∈[0,4032],
∴k的值有4033个,即x有4033个;
(3)证明:不等式g(x)+x﹣4<0,即 g(x)<4﹣x,
故函数g(x)的图象位于直线y=4﹣x的下方.
显然,当x≤0时,函数g(x)的图象位于直线y=4﹣x的下方.
当x∈(0, ]时,g(x)单调递增,g( )=2,显然g( )<4﹣ ,
即函数g(x)的图象位于直线y=4﹣x的下方.
综上可得,当x≤ 时,函数g(x)的图象位于直线y=4﹣x的下方.
对任意λ>0,一定存在μ= >0,使λμ= ,满足函数g(x)的图象位于直线y=4﹣x的下方.
【解析】(1)求出函数解析式,即可求函数g(x)在[ , ]上的值域;(2)g(x)=0,可得x= ,k∈Z,利用x∈[0,2016π],求满足g(x)=0的实数x的个数;(3)分类讨论,可得当x≤ 时,函数f(x)的图象位于直线y=4﹣x的下方,由此证得结论成立.
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