题目内容
【题目】已知抛物线y2=﹣x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于 时,求k的值.
【答案】
(1)证明:由方程y2=﹣x,y=k(x+1)
消去x后,整理得
ky2+y﹣k=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理y1y2=﹣1.
∵A、B在抛物线y2=﹣x上,
∴y12=﹣x1,y22=﹣x2,y12y22=x1x2.
∵kOAkOB= = = =﹣1,
∴OA⊥OB.
(2)解:设直线与x轴交于N,又显然k≠0,
∴令y=0,则x=﹣1,即N(﹣1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
= |ON||y1|+ |ON||y2|
= |ON||y1﹣y2|,
∴S△OAB= 1
= .
∵S△OAB= ,
∴ = .解得k=±
【解析】(1)证明OA⊥OB可有两种思路:①证kOAkOB=﹣1;②取AB中点M,证|OM|= |AB|.(2)求k的值,关键是利用面积建立关于k的方程,求△AOB的面积也有两种思路:①利用S△OAB= |AB|h(h为O到AB的距离);②设A(x1 , y1)、B(x2 , y2),直线和x轴交点为N,利用S△OAB= |ON||y1﹣y2|.
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