题目内容

【题目】已知抛物线y2=﹣x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于 时,求k的值.

【答案】
(1)证明:由方程y2=﹣x,y=k(x+1)

消去x后,整理得

ky2+y﹣k=0.

设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理y1y2=﹣1.

∵A、B在抛物线y2=﹣x上,

∴y12=﹣x1,y22=﹣x2,y12y22=x1x2

∵kOAkOB= = = =﹣1,

∴OA⊥OB.


(2)解:设直线与x轴交于N,又显然k≠0,

∴令y=0,则x=﹣1,即N(﹣1,0).

∵SOAB=SOAN+SOBN

= |ON||y1|+ |ON||y2|

= |ON||y1﹣y2|,

∴SOAB= 1

=

∵SOAB=

= .解得k=±


【解析】(1)证明OA⊥OB可有两种思路:①证kOAkOB=﹣1;②取AB中点M,证|OM|= |AB|.(2)求k的值,关键是利用面积建立关于k的方程,求△AOB的面积也有两种思路:①利用SOAB= |AB|h(h为O到AB的距离);②设A(x1 , y1)、B(x2 , y2),直线和x轴交点为N,利用SOAB= |ON||y1﹣y2|.

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