Question

已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ+μ,且λμ=.

(1)求||最小值,并指出此时与,的夹角;
(2)是否存在两定点F₁,F₂使|||-|||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.

Answer 1

(1)    或   (2) 存在   k=2

解:(1)由余弦定理知:
cos∠ACB==⇒∠ACB=.
因为||²==(λ+μ)²
=λ²+16μ²+2λμ·
=λ²+16μ²+1≥3.
所以||≥,当且仅当λ=±1时,“=”成立.
故||的最小值是,
此时<,>=<,>=或.
(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A,B(2,-2),
设动点M(x,y),

因为=λ+μ,
所以⇒
再由λμ=知-y²=1,
所以,动点M的轨迹是以F₁(-2,0),F₂(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,
即存在两定点F₁(-2,0),F₂(2,0)使|||-|||恒为常数2,即k=2.