Question

11．如图所示，扇形OPQ的半径为2，圆心角为$\frac{π}{3}$，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，则S_ABCD的最大值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．

解答 解：如图，记∠COP=α，在Rt△OBC中，OB=2cosα，BC=2sinα，
在Rt△OAD中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2sinα．
所以AB=OB-OA=2cosα-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（2cosα$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα）•2sinα=4sinαcosα$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin²α
=2sin2α+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos2α-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由于0＜α＜$\frac{α}{3}$，所以当2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，S_最大=$\frac{4}{\sqrt{3}}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
因此，当α=$\frac{π}{6}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．