题目内容
【题目】已知抛物线:
上任意一点到其焦点的距离的最小值为1.
,
为抛物线上的两动点(
、
不重合且均异于原点),
为坐标原点,直线
、
的倾斜角分别为
,
.
(1)求抛物线方程;
(2)若,求证直线
过定点;
(3)若(
为定值),探求直线
是否过定点,并说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)是,理由见解析.
【解析】
(1)根据抛物线的定义结合已知求出的值,最后写出抛物线的标准方程;
(2)设出直线的方程与抛物线方程联立,由已知
可以得到
,结合平面向量数量积坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系,最后得到直线
过定点;
(3)根据(2)中的特例,再结合,根据两角和的正切公式、直线倾斜角和斜率的关系,最后能求出直线
所过定点.
(1)设为抛物线上任一点,
为焦点,则
,
故抛物线方程.
(2)设,
,
:
,联立
得
,
,
,即
,
则.
得已,从而直线
过定点
.
(3)由(2),:
,
,
当或
时,
,
,故
,
于是直线经过定点
.
当且
时,
,
,
即,
.
故直线:
,即为
,
故直线过定点
.
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