题目内容
【题目】函数.
(Ⅰ)当曲线在点
处的切线与直线
垂直时,判断函数
在区间
上的单调性;
(Ⅱ)若函数在定义域内有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由,解得
,令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)函数
在
内有两个零点,等价于方程
恰有两个不相等的正实根,令
,分两种情况讨论,
不合题意;当
时,利用导数研究函数的单调性以及函数的最值,结合零点存在定理,列不等式求解即可.
(Ⅰ)由题意知,函数的定义域为
.
,
,解得
.
,
. 当
时,
,则
恒成立,
故函数在区间
上单调递增.
(Ⅱ)函数的定义域为
.若函数
在
内有两个零点,即方程
恰有两个不相等的正实根,
也就是方程恰有两个不相等的正实根.
令,
.
当时,
>0恒成立,函数
在
上是增函数,
∴函数最多一个零点,不合题意,舍去.
当时,由
得
;由
得
.
所以函数在
单调递减,在
内单调递增.
所以的最小值是
,即
,
.
,
,解得
.
因为所以在
内有一个零点.
因为,所以
.
于是所以在
内有一个零点.
故实数a的取值范围是.
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