Question

如图,正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC₁上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是　　　　(写出所有正确命题的编号). 

①当0<CQ<时,S为四边形;
②当CQ=时,S为等腰梯形;
③当CQ=时,S与C₁D₁的交点R满足C₁R=;
④当<CQ<1时,S为六边形;
⑤当CQ=1时,S的面积为.

Answer 1

①②③⑤

利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.
①当0<CQ<时,如图(1).
在平面AA₁D₁D内,作AE∥PQ,
显然E在棱DD₁上,连接EQ,
则S是四边形APQE.

②当CQ=时,如图(2).
显然PQ∥BC₁∥AD₁,连接D₁Q,
则S是等腰梯形.
③当CQ=时,如图(3).
作BF∥PQ交CC₁的延长线于点F,则C₁F=.
作AE∥BF,交DD₁的延长线于点E,D₁E=,AE∥PQ,
连接EQ交C₁D₁于点R,由于Rt△RC₁Q∽Rt△RD₁E,
∴C₁Q∶D₁E=C₁R∶RD₁=1∶2,
∴C₁R=.

④当<CQ<1时,如图(3),连接RM(点M为AE与A₁D₁交点),显然S为五边形APQRM.
⑤当CQ=1时,如图(4).
同③可作AE∥PQ交DD₁的延长线于点E,交A₁D₁于点M,显然点M为A₁D₁的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MP×AQ=××=.