Question

5．已知函数f（θ）=2sin（$\frac{π}{4}$+θ）[$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+θ）+cos（$\frac{π}{4}$+θ）]，设角A为△ABC的内角，满足f（A）=$\sqrt{3}$+1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把已知由同角三角函数的基本关系式化简，代入f（A）=$\sqrt{3}$+1，结合A的范围求解A的值；
（2）分别在三角形ABC、三角形ADB、三角形ADC中运用余弦定理结合已知条件求得AB•AC的值，代入三角形的面积公式得答案．

解答 解：f（θ）=2sin（$\frac{π}{4}$+θ）[$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+θ）+cos（$\frac{π}{4}$+θ）]
=2$\sqrt{3}$sin2（$\frac{π}{4}$+θ）+2sin（$\frac{π}{4}$+θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）
=$\sqrt{3}$[1-cos（$\frac{π}{2}$+2θ）]+sin（$\frac{π}{2}$+2θ）
=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$sin2θ+cos2θ
=$\sqrt{3}$+2sin（2θ+$\frac{π}{6}$）．
（1）由f（A）=$\sqrt{3}$+1，A∈（0，π），得$\sqrt{3}$+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$+1，
可得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）如图，
在△ABC中，设BC中点为D，∠ADB=α，则∠ADC=π-α，
则BC²=AC²+AB²-2AB•ACcos$\frac{π}{3}$，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcosα，
AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos（π-α），
又AD=3，BD=DC=$\frac{3}{2}$，
联立以上各式求得：AB•AC=$\frac{27}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{27}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了同角三角函数的基本关系式，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．