Question

16．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=a_n•a_n+1，求a₂+a₄+…+a_2n．

Answer 1

分析 利用3S_n=a_n•a_n+1与3S_n+1=a_n+1•a_n+2作差可知3a_n+1=a_n+1•a_n+2-a_n•a_n+1，通过两边同时除以a_n+1可知数列{a_2n}是以3为首项、3为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵3S_n=a_n•a_n+1，
∴3S_n+1=a_n+1•a_n+2，
两式相减得：3a_n+1=a_n+1•a_n+2-a_n•a_n+1，
∵a_n＞0，
∴$\frac{3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}-{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$，
即3=a_n+2-a_n，
又∵3a₁=a₁•a₂，a_n＞0，
∴a₂=3，
∴数列{a_2n}是以3为首项、3为公差的等差数列，
∴a₂+a₄+…+a_2n=3n+3•$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{3}{2}•n•（n+1）$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．