Question

20．已知x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，求函数y=（sinx+1）（cosx+1）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换可得y=sinxcosx+sinx+cosx+1，令t=sinx+cosx，易求t∈[$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\sqrt{2}$]，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，于是有y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t+1=$\frac{1}{2}$（t+1）²，利用二次函数的性质可求得x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]的最值．

解答 解：函数y=（sinx+1）（cosx+1）
=sinxcosx+sinx+cosx+1，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]，
∴t∈[$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\sqrt{2}$]，
又t²=1+2sinxcosx，
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t+1=$\frac{1}{2}$（t+1）²，
对称轴：t=-1，
区间[$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\sqrt{2}$]在对称轴的右边，为递增区间．
∴y_min=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）²=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
y_max=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+1）²=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，着重考查三角恒等变换，突出考查换元法的应用及二次函数的性质，属于中档题．