题目内容
【题目】过抛物线
的焦点
且斜率为1的直线与抛物线
交于
、
两点，且
.
（1）求抛物线的方程；
（2）点
是抛物线上异于、的任意一点，直线
、
与抛物线的准线分别交于点
、
，求证：
为定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意，设直线
，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义，由
求解.
（2）设
，得到直线
，令
，得到
，再根据点
均在抛物线
上 ，将
，
，代入化简得到
，同理可得点
的纵坐标为
，然后由数量积坐标运算求解.
（1）由题意知
，则直线，
代入抛物线
，化简得
，
设
，则
，
因抛物线
的准线方程为
，
由抛物线的定义得，
，
故抛物线的方程为.
（2）设，则直线，
当时，
，
∵点均在抛物线上
∴，
∴
，
即点
的纵坐标为，
同理可得点的纵坐标为，
∴
，
由（1）知
，
∴
∴
，为定值.
练习册系列答案
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