Question

【题目】已知函数，，.

（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）当时，是否存在，使得和的图象在处的切线互相平行，若存在，请给予证明，若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，见解析.

【解析】

（1）求得函数的导数，分类讨论求得函数的单调性，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解。

（2）当时，求得，，假设，使得和的图象在处的切线互相平行，转化为使得，且，构造新函数，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.

（1）由题意，函数，可得，，

当时，，所以在上单调递增，满足题意；

当时，由，，得，

由，解得；由，解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

要使得函数在上是单调函数，则满足，解得，

综上，实数的取值范围是.

（2）当时，函数，，可得，，

假设，使得和的图象在处的切线互相平行，

即使得，且.

令，则函数在上是减函数，

因为，，

所以，所以使得.

由（1）知，当时，在上单调递增，

所以，当时，在上，

又由恒成立， 所以，而时，，

所以当时，，使得和的图象在处的切线互相平行.