Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值.

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为0？若存在，试求出的值：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）极小值为，无极大值，（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义可得函数的极值；

（2）分三种情况讨论与区间的关系，利用单调性求出函数的最小值，与已知最小值相等解出即可得到答案.

（1）由题意知，，，

由，得，解得，所以函数的单调递增区间为，

由，得，解得，所以函数的单调递减区间为，

所以当时，函数取得极小值为.无极大值

（2）由（1）知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

①当，即时，函数在上为增函数，故函数的最小值为，显然，故不满足条件；

②当，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，故函数的最小值为，

由，解得或（舍去），

而，故不满足条件；

③当，即时，函数在上为减函数，故函数的最小值为，由，解得，而，故不满足条件.

综上所述：这样的不存在.