Question

【题目】如果既约分数满足：（、为正整数），则称为“牛分数”．现将所有的牛分数按递增顺序排成一个数列，称为“牛数列”．证明：对于牛数列中的任两个相邻项、，都满足．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

对任一正整数，将牛数列中分母不大于的子数列记为．

当时，数列显然满足条件．

对进行归纳．

据数列知，当时结论成立．

设结论对于成立，考虑数列．

注意到，而中的分数满足：分母，．

设、是中的一对相邻分数．

如果它们在中也相邻，则显然满足条件；

如果它们在中不相邻，即有中的分数插入它们之间（，），即（插入的分数中总有一个与或相邻，不妨设与相邻）．

于是，． ①

所以，．

又易知，分数也介于与之间（这是由于，）．

注意到，知与互质，即为既约分数．

若，由及，相乘得．

由，得．

又，且、在中相邻，则，且式①中等号成立．

故．

从而，，这与矛盾．

因此，．

若分数，则． ②

若、、是中的相邻项，那么，对于前一对分数而言有；

而对于后一对分数而言有．

因此，插入后的分数列符合条件．

又由式②知，式①等号成立．于是，以及．

由，得． ③

因此，．

又是中能够插入中的一对相邻分数、之间的唯一分数，即在由数列过渡到数列时，不论相邻分数间是否插入了新的分数，所得数列都满足条件．

因此，对于每个正整数，结论成立．特别是数列满足条件，故本题得证．