Question

【题目】在三棱锥中，平面平面，，，，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直，可证平面，从而有，再利用勾股定理证明，可证平面，证得结论.

（2）先证得平面平面，过点作于点，有平面，可证明是与平面所成的角，在△ABC中，求得，可得，由等面积法知，即可求解直线与平面所成角的正弦值.

（1）由题意平面平面，平面，平面平面=AC，

又，，

∴，

∴平面，从而有，

又由勾股定理得，，

∴平面，即；

（2）设，则，

在中，，即.

故，，

过作于点，连接，过点作于点，

连接，因为且，

故平面，

又因为平面，所以平面平面，

进而有平面，

故是与平面所成的角，

在中，有，得，

故，，

由等面积法知，

所以，

故直线与平面所成角的正弦值为.