Question

【题目】求所有的实数组（a、b、c），使得对任何整数n，都有.其中，表示不超过实数x的最大整数.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先证明：“使对任何整数n，都有”等价于“a、b中至少有一个为整数，且c=a+b”.

一方面，若a、b中至少有一个为整数，且c=a+b，则不妨设a为整数.那么，对任何整数n，na为整数.所以，.

于是， .

另一方面，若对任何整数n，都有.则分别取n=1、-1，

得，

两式相加得.

又对任何实数x，

于是，如果a、b都不是整数，则

故，矛盾.

所以，a、b中至少有一个为整数.

不妨设a为整数，那么，对任何整数n，na为整数，于是，.

则对任何整数n，.

即.

故

而

于是，.

综上，所求的实数组，，

其中，m、n为任意整数，t为任意实数.