Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A、B两点，若a∈[ ， ]，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，则椭圆离心率e的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（ ， ）
【解析】解：将x+y﹣1=0代入椭圆方程整理得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0（﹡）
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则x1+x2= ，x1x2=
而y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2）= ，
又∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∴ + =0，
∴a2+b2=2a2b2 ，
∴ =2，①
将b2=a2﹣c2 ， e= ，代入①得
2﹣e2=2a2（1﹣e2），
∴e2= =1﹣
∵a∈[ ， ]，
∴ ＜e2＜ ，
而0＜e＜1，
∴ ＜e＜ ，
所以答案是：（ ， ）．