题目内容
【题目】已知椭圆C： 
=1（a＞b＞0）与直线x+y﹣1=0相交于A、B两点，若a∈[ 
， 
]，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，则椭圆离心率e的取值范围为 ．
【答案】（ 
， 
）
【解析】解：将x+y﹣1=0代入椭圆方程整理得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0（﹡）
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则x1+x2= 
，x1x2= 
而y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2）= 
，
又∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∴ + =0，
∴a2+b2=2a2b2 ，
∴ 
=2，①
将b2=a2﹣c2 ， e= 
，代入①得
2﹣e2=2a2（1﹣e2），
∴e2= 
=1﹣ 
∵a∈[ 
， 
]，
∴ 
＜e2＜ 
，
而0＜e＜1，
∴ ＜e＜ ，
所以答案是：（ ， ）．
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