题目内容
【题目】已知数列{an}满足:a1= ,a2=
,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N),数列{bn}满足:b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R),数列{bn}的前n项和为Sn .
(1)求证:数列{bn﹣an}为等比数列;
(2)求证:数列{bn}为递增数列;
(3)若当且仅当n=3时,Sn取得最小值,求b1的取值范围.
【答案】
(1)解:∵2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N),
∴{an}是等差数列.
又∵a1= ,a2=
,
∴ ,
∵ ,(n≥2,n∈N*),
∴bn+1﹣an+1=
= =
= .
又∵ ,
∴{bn﹣an}是以 为首项,以
为公比的等比数列.
(2)证明:∵bn﹣an=(b1﹣ )(
)n﹣1,
.
∴ .
当n≥2时,bn﹣bn﹣1= .
又b1<0,∴bn﹣bn﹣1>0.
∴{bn}是单调递增数列.
(3)解:∵当且仅当n=3时,Sn取最小值.
∴ ,即
,
∴b1∈(﹣47,﹣11)
【解析】(1)由已知得{an}是等差数列, ,bn+1﹣an+1=
=
.由此能证明{bn﹣an}是以
为首项,以
为公比的等比数列.(2)由
.得当n≥2时,bn﹣bn﹣1=
.由此能证明{bn}是单调递增数列.(3)由已知得
,由此能求出b1的取值范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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