题目内容
【题目】已知抛物线:
的焦点为
,准线为
,三个点
,
,
中恰有两个点在
上.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过的直线交
于
,
两点,点
为
上任意一点,证明:直线
,
,
的斜率成等差数列.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析:(1)由对称关系可知, 两点在
上,求得抛物线
的标准方程为
;(2)设直线
的方程为
,联立抛物线方程,得到韦达定理
,表示出直线
的斜率
,证明满足等差中项公式即可。
试题解析:
(I)因为抛物线:
关于x轴对称,
所以中只能是
两点在
上,
带入坐标易得,所以抛物线
的标准方程为
(II)证明:抛物线的焦点的坐标为
,准线
的方程为
.
设直线的方程为
,
.
由,可得
,所以
,
于是,
设直线的斜率分别为
,
一方面,
.
另一方面, .
所以,即直线
的斜率成等差数列
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