题目内容
【题目】如图，等边三角形
的边长为
，且其
三个顶点均在抛物线
上.
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）设动直线
与抛物线
相切于点
，与直线
相交于点
.证明以
为直径的圆恒过
轴上某定点.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）通过数形结合的方法确定抛物线上点的坐标
，进而求出抛物线方程。
（2）由导数得到切线，进而得到交点和圆的方程，从而证明该命题.
试题解析：（Ⅰ）依题意， 
， 
.
设
，则
， 
∵点
在
上，
∴
，解得
故抛物线
的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 
，∴
设
，则
，且直线
的方程为
，即
联立
，得
，∴
取
，此时
， 
，
以
为直径的圆为
，交
轴于
或
取
， 
， 
，
以
为直径的圆为
，交
轴于
或
故若满足条件的点
存在，只能是
以下证明点
即为所求的点
因为
， 
故以
为直径的圆恒过
轴上的定点
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