Question

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知S₃，S₄的等比中项为S₅; S₃，S₄的等差中项为1，求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

a_n=1或a_n=

方法一 设等差数列{a_n}的首项a₁=a，公差为d，
则S_n=na+d，依题意，有

整理得
∴a=1，d=0或a=4，d=-.
∴a_n=1或a_n=，
经检验，a_n=1和a_n=均合题意.
∴所求等差数列的通项公式为a_n=1或a_n=.
方法二 因S_n是等差数列的前n项和，易知数列是等差数列.依题意得
解得或
由此得a₄=S₄-S₃=1，a₅=S₅-S₄=1，
或a₄=-，a₅=-，
∴d=0或d=-.
∴a_n=a₄+（n-4）×0=1
或a_n=a₄+（n-4）×(-)=-n.
故所求等差数列的通项公式a_n=1或a_n=-n.