题目内容
设A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.
(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.
(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.
(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.
(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.
l在y轴上截距的取值范围是(
,+∞).
,+∞).(1)F∈l
|FA|=|FB|A、B两点到抛物线准线的距离相等y1=y2x12=x22(x1+x2)
(x1-x2)=0,由A、B为两点,∴x1≠x2x1+x2=0.
故x1+x2=0时,直线l经过焦点F.
(2)设l:y=2x+b,
∵l⊥AB,
设AB：y=-
x+m,联立y=2x2,
∴2x2+x-m=0,
设AB中点N(x0,y0),
则
由点N∈l,∴
+m=-
+b,
b=
+m>-
=.
∴l在y轴上截距的取值范围是(,+∞).
|FA|=|FB|A、B两点到抛物线准线的距离相等y1=y2x12=x22(x1+x2)(x1-x2)=0,由A、B为两点,∴x1≠x2
x1+x2=0.故x1+x2=0时,直线l经过焦点F.
(2)设l:y=2x+b,
∵l⊥AB,
设AB：y=-
x+m,联立y=2x2,∴2x2+
x-m=0,设AB中点N(x0,y0),
则
由点N∈l,∴
+m=-+b,b=
+m>-=.∴l在y轴上截距的取值范围是(
,+∞).
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p
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，±
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,±
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