Question

【题目】已知两点,直线相交于点,且这两条直线的斜率之积为．

(1)求点的轨迹方程;

(2)记点的轨迹为曲线,曲线上在第一象限的点的横坐标为,过点且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线于,求直线的斜率(其中点为坐标原点)．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）.

【解析】试题分析：本题主要考查点的轨迹方程、椭圆方程、直线的方程与斜率、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了转化思想与逻辑推理能力.(1) 设点,由题意可得=,化简可得曲线的方程: =;(2) 由题意可得点,直线与直线的斜率互为相反数,设直线的方程为= ,联立椭圆方程,由根与系数的关系式求出点P的坐标,同理求出点Q的坐标,再利用直线的斜率公式化简可得结论.

试题解析：

(1)设点,

∵=,

∴=,

整理得点所在的曲线的方程: =.

(2)由题意可得点,

直线与直线的斜率互为相反数,

设直线的方程为= ,与椭圆方程联立,消去,

得: =,

由于=是方程的一个解,

所以方程的另一解为=,

同理,

故直线的斜率为:

====.