Question

【题目】如图，四边形为正方形，平面.

(1)求证：；

(2)若点在线段上，且满足，求证：平面；

(3)求证：平面.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

要证，转化为证明直线平面，再转化为平面即可

过作，垂足为，连接，则，又可得，所以四边形为平行四边形，则，最后根据线面平面的判定定理即可得证

由可知，再利用平面几何知识得出，最后利用直线与平面垂直的判定定理即可得证

(1)因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF，

因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.

由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，

所以BC⊥平面EABF.

又AF平面EABF，

所以BC⊥AF.

(2)过M作MN⊥BC，垂足为N，连接FN，则MN∥AB.

又CM＝AC，

所以MN＝AB.

又EF∥AB且EF＝AB，

所以EF∥MN且EF＝MN，

所以四边形EFNM为平行四边形，

所以EM∥FN.

又FN平面FBC，EM平面FBC，

所以EM∥平面FBC.

(3)由(1)可知，AF⊥BC.

在四边形ABFE中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，

∠BAE＝∠AEF＝90°，

所以tan∠EBA＝tan∠FAE＝，

则∠EBA＝∠FAE.

设AF∩BE＝P，

因为∠PAE＋∠PAB＝90°，

故∠PBA＋∠PAB＝90°，

则∠APB＝90°，即EB⊥AF.

又因为EB∩BC＝B，所以AF⊥平面EBC.