题目内容
9.设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A=sin($\frac{π}{3}$+B)sin($\frac{π}{3}$-B)+sin2B;(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.
分析 (1)化简已知式子,结合△ABC是锐角三角形可得A=$\frac{π}{3}$;
(2)由余弦定理可得BC,可得△ABC为直角三角形且B为直角,由勾股定理可得.
解答 解:(1)由题意可得sin2A=sin($\frac{π}{3}$+B)sin($\frac{π}{3}$-B)+sin2B
=($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB)($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB)+sin2B
=$\frac{3}{4}$cos2B-$\frac{1}{4}$sin2B+sin2B=$\frac{3}{4}$(1-sin2B)+$\frac{3}{4}$sin2B=$\frac{3}{4}$,
又∵△ABC是锐角三角形,∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,A=$\frac{π}{3}$;
(2)在△ABC中,b=2,c=1,D为BC的中点,
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴△ABC为直角三角形且B为直角,∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴在△ABD中由勾股定理可得AD=$\sqrt{{1}^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$.
点评 本题考查解三角形,涉及和差角的三角函数公式,属中档题.
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