Question

14．计算：sin69°-sin3°+sin39°-sin33°．

Answer 1

分析 先由和差化积公式可得原式=2cos15°（sin54°-sin18°）=2cos15°•2cos36°sin18°，再由二倍角的正弦公式凑出形式得到原式=cos15°，最后由和差角公式和特殊角的三角函数可得．

解答 解：原式=（sin69°+sin39°）-（sin3°+sin33°）
=2sin$\frac{69°+39°}{2}$cos$\frac{69°-39°}{2}$-2sin$\frac{33°+3°}{2}$cos$\frac{33°-3°}{2}$
=2sin54°cos15°-2sin18°cos15°
=2cos15°（sin54°-sin18°）
=2cos15°•2cos$\frac{54°+18°}{2}$sin$\frac{54°-18°}{2}$
=2cos15°•2cos36°sin18°
=2cos15°•$\frac{2sin36°cos36°cos72°}{sin36°}$
=2cos15°•$\frac{sin72°cos72°}{sin36°}$
=2cos15°•$\frac{2sin72°cos72°}{2sin36°}$
=cos15°•$\frac{sin144°}{sin36°}$
=cos15°=cos（45°-30°）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查三角函数和差化积公式，考查二倍角的正弦公式和和差角公式，属中档题．