Question

【题目】设函数y= 的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（0， ]
【解析】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，
则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），
则Q（﹣t，t3+t2），
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴ =0，
即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）
若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0
即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，
代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，
即 =（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），
则h′（x）=lnx+1+ ＞0，
∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，
∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，
∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．
∴对于0＜a≤ ，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．
所以答案是：（0， ]．