题目内容
【题目】设函数y= 的图象上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是 .
【答案】(0, ]
【解析】解:假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求,
则点P、Q只能在y轴两侧.
不妨设P(t,f(t))(t>0),
则Q(﹣t,t3+t2),
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,
∴
=0,
即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0(*)
若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
若0<t<e,则f(t)=﹣t3+t2代入(*)式得:﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0
即t4﹣t2+1=0,而此方程无解,因此t≥e,此时f(t)=alnt,
代入(*)式得:﹣t2+(alnt)(t3+t2)=0,
即 =(t+1)lnt(**)
令h(x)=(x+1)lnx(x≥e),
则h′(x)=lnx+1+ >0,
∴h(x)在[e,+∞)上单调递增,
∵t≥e∴h(t)≥h(e)=e+1,
∴h(t)的取值范围是[e+1,+∞).
∴对于0<a≤ ,方程(**)总有解,即方程(*)总有解.
所以答案是:(0, ].
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【题目】某种多面体玩具共有12个面,在其十二个面上分别标有数字1,2,3,…,12.若该玩具质地均匀,则抛掷该玩具后,任何一个数字所在的面朝上的概率均相等.
为检验某批玩具是否合格,制定检验标准为:多次抛掷该玩具,并记录朝上的面上标记的数字,若各数字出现的频率的极差不超过0.05.则认为该玩具合格.
(1)对某批玩具中随机抽取20件进行检验,将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图(如图所示),试估计这批玩具的合格率;
(2)现有该种类玩具一个,将其抛掷100次,并记录朝上的一面标记的数字,得到如下数据:
朝上面的数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
次数 | 9 | 7 | 8 | 6 | 10 | 9 | 9 | 8 | 10 | 9 | 7 | 8 |
1)试判定该玩具是否合格;
2)将该玩具抛掷一次,记事件:向上的面标记数字是完全平方数(能写成整数的平方形式的数,如
,9为完全平方数);事件
:向上的面标记的数字不超过4.试根据上表中的数据,完成以下列联表(其中
表示
的对立事件),并回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能否认为事件
与事件
有关.
合计 | |||
合计 | 100 |
(参考公式及数据: ,
)