题目内容
【题目】某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1,2,3，…，12.若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等.
为检验某批玩具是否合格，制定检验标准为：多次抛掷该玩具，并记录朝上的面上标记的数字，若各数字出现的频率的极差不超过0.05.则认为该玩具合格.
（1）对某批玩具中随机抽取20件进行检验，将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图（如图所示），试估计这批玩具的合格率；
（2）现有该种类玩具一个，将其抛掷100次，并记录朝上的一面标记的数字，得到如下数据：
朝上面的数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
次数 | 9 | 7 | 8 | 6 | 10 | 9 | 9 | 8 | 10 | 9 | 7 | 8 |
1）试判定该玩具是否合格；
2）将该玩具抛掷一次，记事件
：向上的面标记数字是完全平方数（能写成整数的平方形式的数，如
，9为完全平方数）；事件
：向上的面标记的数字不超过4.试根据上表中的数据，完成以下列联表（其中
表示
的对立事件），并回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能否认为事件
与事件
有关.
|
| 合计 | |
| |||
| |||
合计 | 100 |
（参考公式及数据： 
， 
）
【答案】（1）85%;（2）1）该玩具合格;2）见解析.
【解析】试题分析：（1）依题意可得有三个玩具不合格，故合格率为
.（2）由数据可知， 
点或
点的的最大频率为
， 
点对应最小频率为
，极差
，故玩具合格.根据数据填好联表，计算
的值，由此判断出在犯错误的概率不超过
的前提下，能认为事件
与事件
有关.
试题解析：
（1）由题意知，20个样本中，极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格，故合格率可估计为
，即这批玩具的合格率约为85%.
（2）1）由数据可知，5点或9点对应最大频率0.10,4点对应最小频率0.06，故频率极差为
，故该玩具合格.
2）根据统计数据，可得以下列联表：
于是
的观测值
，
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为事件
与事件
有关.
