Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3（x2﹣2），

令f'（x）=0，得 ，

∴当 或 时，f'（x）＞0；

当 时，f'（x）＜0，

∴f（x）的单调递增区间是 和 ，

单调递减区间是 ；

当x=﹣ ，f（x）有极大值5+4 ；当x= ，f（x）有极小值5﹣4

（2）解：设切点为（m，n），

则切线的斜率为3（m2﹣2），

切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），

代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），

化为（m﹣1）2（2m+1）=0，

解得m=1或m=﹣ ，

则斜率为﹣3或﹣ ，

可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣ x+

【解析】（1）求导f（x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．