题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求
在
时的最值;
(2)若,
时,都有
,求实数
的范围.
【答案】(1)最小值为,最大值为
;(2)
.
【解析】
(1)将代入函数
的解析式,求出函数
的导数
,利用导数分析函数
在区间
上的单调性,可得出函数
在
时的最小值和最大值;
(2)由可知函数
在
上单调递增,函数
在
上是减函数,设
,由
可得出
,构造函数
,可得出
在区间
上为减函数,转化为
在区间
上恒成立,利用参变量分离法可求出实数
的取值范围.
(1)当时,
,则
.
当时,令
,得
.
当时,
,此时,函数
单调递减;
当时,
,此时,函数
单调递增.
所以,函数在区间
上的最小值为
,
又,
,
则函数在区间
上的最大值为
;
(2)若,
在区间
上是增函数,函数
是减函数.
不妨设,由已知:
,
,
记,
,
则在区间
是减函数,
在
上恒成立.
,记
,
在
上恒成立,
函数在区间
上单调递减,则
,
,又
,
因此,实数取值范围是
.
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