题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
为参数
,直线
与曲线
分别交于
两点.
(1)若点的极坐标为
,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形周长的最大值.
【答案】(1)4;(2)16.
【解析】
(1)根据题意,将曲线C的极坐标方程变形为标准方程,将直线的参数方程与曲线C的方程联立,可得,由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案;
(2)写出曲线C的参数方程,分析可得以P为顶点的内接矩形周长l,由正弦函数的性质分析可得答案.
(1)由,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得到
+3
=12,
所以曲线C的直角坐标方程为+3
=12,
的极坐标为
,化为直角坐标为(-2,0)
由直线l的参数方程为:(t为参数),
知直线l是过点P(-2,0),且倾斜角为的直线,
把直线的参数方程代入曲线C得,.
所以|PM||PN|=|t1t2|=4.
(2)由曲线C的方程为 ,
不妨设曲线C上的动点,
则以P为顶点的内接矩形周长l,
又由sin(θ)≤1,则l≤16;
因此该内接矩形周长的最大值为16.
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