Question

6．函数y=sinα（sinα-cosα）（α∈[-$\frac{π}{2}$，0]）的最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最大值．

解答 解：∵函数y=sinα（sinα-cosα）=$\frac{1-cos2α}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2α=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$），
∵α∈[-$\frac{π}{2}$，0]，∴2α+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，故当2α+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，即α=-$\frac{3π}{8}$时，函数y取得最大值为$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．