Question

16．求和：
（1）S_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{4}$+$\frac{25}{8}$+$\frac{65}{16}$+…+$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$
（2）S_n=（x+$\frac{1}{x}$）²+（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²+…+（xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$）²．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论；
（2）通过（xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$）²=x²ⁿ+2+$\frac{1}{{x}^{2n}}$，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{4}$+$\frac{25}{8}$+$\frac{65}{16}$+…+$\frac{n•{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$
=（1+2+…+n）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）∵（xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$）²=x²ⁿ+2+$\frac{1}{{x}^{2n}}$，
∴S_n=（x+$\frac{1}{x}$）²+（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²+…+（xⁿ+$\frac{1}{{x}^{n}}$）²．
=2n+（x²+x⁴+…+x²ⁿ）+（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{4}}$+…+$\frac{1}{{x}^{2n}}$）
=2n+$\frac{{x}^{2}（1-{x}^{2n}）}{1-{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}（1-\frac{1}{{x}^{2n}}）}{1-\frac{1}{{x}^{2}}}$
=2n+$\frac{{x}^{2}（1-{x}^{2n}）}{1-{x}^{2}}$-$\frac{1-\frac{1}{{x}^{2n}}}{1-{x}^{2}}$
=2n+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$-$\frac{{x}^{2n+2}}{1-{x}^{2}}$-$\frac{1}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2n}}$
=2n+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$-$\frac{1}{1-{x}^{2}}$-$\frac{{x}^{2n+2}}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2n}}$
=2n-1-$\frac{{x}^{2n+2}}{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{（1-{x}^{2}）{x}^{2n}}$．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．