Question

1．如图，已知圆台的上下底面半径分别为1cm和3cm，母线长为8cm，P是母线MN的中点，由M出发，沿圆台侧面绕一周到达点P，求经过的最短路程．

Answer 1

分析 由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．

解答 解：沿母线MN剪开并展开如图，

设ON=x，则由$\frac{x}{x+8}=\frac{1}{3}$，得x=4，
∴OM=12，
∵圆台底面半径为3，∴底面圆的周长为6π，则∠MOM′=$\frac{6π}{12}=\frac{π}{2}$．
在Rt△MOP中，由OM=12，OP=8，
∴MP=$\sqrt{1{2}^{2}+{8}^{2}}=4\sqrt{13}$．
∴经过的最短路程为$4\sqrt{13}$cm．

点评 本题考查旋转体表面上的最短距离问题，该类问题的解法是：首先剪展，然后在三角形中借助于正弦定理或余弦定理求解，是中档题．