题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)设,求证:
;
(Ⅲ)若对于
恒成立,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)函数的单调增区间为
,单调减区间为
;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)利用二次求导可得,所以
在
上为增函数,进而可得函数
的单调增区间为
,单调减区间为
;(Ⅱ)利用导数可得
在区间
上存在唯一零点,所以函数
在
递减,在
,
递增,则
,进而可证;(Ⅲ)条件等价于
对于
恒成立,构造函数
,利用导数可得
的单调性,即可得到
的最小值为
,再次构造函数
(a)
,
,利用导数得其单调区间,进而求得最大值.
(Ⅰ)当时,
,
则,所以
,
又因为,所以
在
上为增函数,
因为,所以当
时,
,
为增函数,
当时,
,
为减函数,
即函数的单调增区间为
,单调减区间为
;
(Ⅱ),
则令,则
(1)
,
,
所以在区间
上存在唯一零点,
设零点为,则
,且
,
当时,
,当
,
,
,
所以函数在
递减,在
,
递增,
,
由,得
,所以
,
由于,
,从而
;
(Ⅲ)因为对于
恒成立,即
对于
恒成立,
不妨令,
因为,
,
所以的解为
,
则当时,
,
为增函数,
当时,
,
为减函数,
所以的最小值为
,
则,
不妨令(a)
,
,
则(a)
,解得
,
所以当时,
(a)
,
(a)为增函数,
当时,
(a)
,
(a)为减函数,
所以(a)的最大值为
,
则的最大值为
.
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