Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣x+3． （Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣1， ∴f'（x）=3x2﹣1，在x=1处的切线斜率k=312﹣1=2，
又∵f（1）=13﹣1+3=3，
∴切线方程为y﹣3=2（x﹣1）化简得2x﹣y+1=0，
（Ⅱ）∵f'（x）=3x2﹣1=3（x﹣ ）（x+ ），
令f'（x）=0，解得x= ，或x=﹣ ，
当x∈（﹣∞，﹣ ）或x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣ ）和（ ，+∞）
【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．（Ⅱ）求出函数的导数，判断导函数的符号，从而求出函数的单调增区间．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．