题目内容
【题目】设向量 =(sinx,
cosx),
=(﹣1,1),
=(1,1),其中x∈(0,π].
(1)若( +
)∥
,求实数x的值;
(2)若
=
,求函数sinx的值.
【答案】
(1)解:向量 =(sinx,
cosx),
=(﹣1,1),
∴ +
=(sinx﹣1,
cosx+1);
又 =(1,1),且(
+
)∥
,
∴(sinx﹣1)﹣( cosx+1)=0,
化简得sinx﹣ cosx=2,
即2( sinx﹣
cosx)=2sin(x﹣
)=2,
∴sin(x﹣ )=1;
又x∈[0,π],
∴x﹣ ∈[﹣
,
],
∴x﹣ =
,
∴x= ;
(2)解:
=﹣sinx+
cosx
=2( cosx﹣
sinx)
=2cos(x+ )
= ,
∴cos(x+ )=
;
又x∈[0,π],
则x+ ∈[
,
],
∴x+ ∈[
,
],
∴sin(x+ )=
=
;
∴sinx=sin(x+ ﹣
)=sin(x+
﹣
)
=sin(x+ )cos
﹣cos(x+
)sin
= ×
﹣
×
= .
【解析】(1)根据平面向量的坐标运算与共线定理,列出方程求出sinx的值,再根据x的取值范围求出x的值;(2)根据平面向量数量积的定义和三角恒等变换,利用特殊角的三角函数值,即可求出sinx的值.
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