题目内容
【题目】已知函数f（x）= 
sinxcosx﹣cos2x+ 
，（x∈R）．
（1）若对任意x∈[﹣ 
， 
]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；
（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移 
个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣ 
在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．
【答案】
（1）解：函数f（x）= 
sinxcosx﹣cos2x+ 
= 
sin2x﹣ cos2x=sin（2x﹣ 
），
若对任意x∈[﹣ 
， 
]，都有f（x）≥a，
则只需 f（x）min≥a即可．
∵2x﹣ ∈[﹣ 
， 
]，故当2x﹣ =﹣ 时，
f（x）min=﹣ ，故 a≤﹣ ．
（2）解：若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，可得y=sin（x﹣ ）的图象；
然后再向左平移 个单位得到函数y=g（x）=sinx的图象．
令g（x）﹣ 
=0，求得sinx= ，
求函数y=g（x）﹣ 在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．
由图可知，sinx= 在区间[﹣2π，4π]内有6个零点：x1，x2，x3，x4，x5，x6，
根据对称性有 
=﹣ 
， 
= ， 
= 
，
从而所有零点和为：x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π．
【解析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据题意，x∈[﹣ ， ]时，f（x）min≥a．再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值，可得a的范围．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，根据正弦函数的图象的对称性，求得函数y=g（x）﹣ 在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，，8）数据作了初步处理， 得到下面的散点图及一些统计量的值．
| | | | | | |
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
其中wi= 
， 
= 
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 ， v1），（u2 ， v2），，（un ， vn），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 
= 
， 
= 
﹣ 
．
