Question

【题目】若函数f（x）=1+ +sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n=（ ）
A.0
B.1
C.2
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：记g（x）= +sinx﹣1， ∴g（﹣x）=
= ，
∴g（﹣x）+g（x）= +sinx﹣1+ =0，
∴g（﹣x）=﹣g（x）．
∴函数g（x）在奇函数，
∴函数g（x）的图象关于原点对称，
∴函数g（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的最大值记为a，（a＞0），
则g（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的最小值为﹣a，
∴﹣a≤ +sinx﹣1≤a，
∴﹣a+2≤ +sinx+1≤a+2，
∴﹣a+2≤f（x）≤a+2，
∵函数f（x）=1+ +sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，
∴m=﹣a+2，n=a+2，
∴m+n=4．
故选D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数的值域的理解，了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．