题目内容

(本小题满分12分)
已知函数定义域为,若对于任意的,都有,且时,有.
(1)求证: 为奇函数;
(2)求证: 上为单调递增函数;
(3)设,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.
(1)见解析(2)见解析(3)

试题分析:(1)因为有
,得,所以,                      ……1分
可得:
所以,所以为奇函数.                                ……4分
(2)是定义在上的奇函数,由题意


是在上为单调递增函数;                                     ……8分
(3)因为上为单调递增函数,
所以上的最大值为,                               ……9分
所以要使<,对所有恒成立,
只要>1,即>0,                                   ……10分


.                                             ……12分
点评:解决抽象函数问题常用的方法是“赋值法”,而要考查抽象函数的性质,还要借助图象,数形结合来解决.对于恒成立问题,要转为为求最值来解决,而(3)中将函数转化为关于的函数,是这道题解题的亮点所在.
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