题目内容

过原点的直线交双曲线 于P,Q两点,现将坐标平面沿直线y= -x折成直二面角,则折后PQ长度的最小值等于

A. B.4 C. D.

B

解析试题分析:∵双曲线是等轴双曲线,以直线y=±x为渐近线

∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角,可得双曲线的图象
∵双曲线的顶点(,0),逆时针方向旋转45°
变为点(
∴点()在的图象上,可得m=
即双曲线按逆时针方向旋转45°角,得到双曲线的图象
问题转化为:过原点的直线交双曲线于P、Q两点
将坐标平面沿直线y轴折成直二面角,求折后线段PQ的长度的最小值
设P(t,)(t>0),过点P作PM⊥y轴于M,连结MQ,
可得M(0,),Q(-t,-),
|MQ|==,在折叠后的图形中,Rt△PMQ中,|PM|=t,
得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2==16,
当且仅当t2=4,即t=2时等号成立,
∴当t=2时,即P坐标为(2,)时,|PQ|的最小值为=4.
综上所述,折后线段PQ的长度的最小值等于4,故选B.
考点:两点间的距离公式、面面垂直的性质、勾股定理,基本不等式求最值,逻辑推理能力,运算能力,转化与化归思想,数形结合思想

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