Question

【题目】设动圆P(圆心为P)经过定点(0，2)、(t+2，0)、(t－2，0)三点，当t变化时，P的轨迹为曲线C

(1) 求C的方程

(2) 过点(0，2)且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A、B两点，B点关于y轴的对称点为D，求证：直线AD经过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点

【解析】分析：（1）设动圆P圆心为，半径为 依题意的：，消去即可得解；

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x2，y2)，令x=0并将，代入，可解得AD的y截距：y0=x1x2，设直线l：y=kx+2与抛物线联立，利用韦达定理即可得证.

详解：（1）设M(t+2,0)、N(t-2,0)、R(0,2)，

当t变化时，总有MN=4，故圆P被x轴截得的弦长为4

设动圆P圆心为，半径为 依题意的：

化简整理得：

所以，点P的轨迹C的方程

(2)由对称性知，直线AD经过的定点在y轴上

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(－x2，y2)，其中，，

直线AD的方程为：

令x=0并将，代入，可解得AD的y截距：y0=x1x2

设直线l：y=kx+2，代入抛物线方程，可得：x2－4kx－8=0

所以x1x2=－8，此时y0=－2

故直线AD过定点(0, －2)