题目内容
【题目】如图,直三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为
,
为
的中点
(1)若,证明:
平面
;
(2)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)本题首先可通过为
的中点得出
,然后根据三棱柱
是直棱柱得出
平面
以及
,再然后由
得出
,最后根据
即可证得
平面
;
(2)首先可以过点作
平面
,然后根据线面角的相关性质可知
为直线
与平面
所成的角,最后通过等体积法即可求得
以及线面角的正弦值。
(1)因为△是正三角形,
为
的中点,所以
.
因为三棱柱是直棱柱,所以
平面
,从而
因为四边形是矩形,且
,
,
所以,
,
因为,
,
,所以
平面
。
(2)如图所示,过点作
平面
,垂足为
,连结
,则
为直线
与平面
所成的角,
在中,
,所以
.
在中,
,所以
.
因为,所以
.
所以,解得
.
所以。
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