题目内容
【题目】已知被直线
,
分成面积相等的四个部分,且截
轴所得线段的长为2.
(1)求的方程;
(2)若存在过点的直线与
相交于
,
两点,且点
恰好是线段
的中点,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)被直线
,
分成面积相等的四个部分说明圆心在直线的交点,再根据截得x轴线段长求出半径即可;(2)根据平面几何知识知,“点
是线段
的中点”等价于“圆上存在一点
使得
的长等于
的直径”,转化为
,即
,从而求解.
试题解析:
(1)设的方程为
,
因为被直线
分成面积相等的四部分,
所以圆心一定是两直线
的交点,
易得交点为,所以
.
又截x轴所得线段的长为2,所以
.
所以的方程为
.
(2)法一:如图, 的圆心
,半径
,
过点N作的直径
,连结
.
当与
不重合时,
,
又点是线段
的中点
;
当与
重合时,上述结论仍成立.
因此,“点是线段
的中点”等价于“圆上存在一点
使得
的长等于
的直径”.
由图可知,即
,即
.
显然,所以只需
,即
,解得
.
所以实数的取值范围是
.
法二:如图, 的圆心
,半径
,连结
,
过作
交
于点
,并设
.
由题意得,
所以,
又因为,所以
,
将代入整理可得
,
因为,所以
,,解得
.
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练习册系列答案
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,
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