题目内容
【题目】已知椭圆x2＋
＝1(0<b<1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C三点作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．
(1)若FC是圆P的直径，求椭圆的离心率；
(2)若圆P的圆心在直线x＋y＝0上，求椭圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】【试题分析】（1）根据椭圆的性质得出
点的坐标，利用直径所对圆周角是直角，即
.列方程解出
的值，由此求得离心率.（2）求得直线
和
垂直平分线的方程，求得
的值，代入直线方程可求得
，由此解得
的值并求出椭圆方程.
【试题解析】
(1)由椭圆的方程知a＝1，
点B(0，b)，C(1,0)．设F的坐标为(－c,0)(c>0)，
∵FC是圆P的直径，
∴FB⊥BC，
∵kBC＝－b，kBF＝
，
∴－b·＝－1，
∴b2＝c＝1－c2，c2＋c－1＝0，
解得c＝
，∴椭圆的离心率e＝
＝.
(2)∵圆P过F、B、C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为x＝
，①
∵BC的中点为
，kBC＝－b，
∴BC的垂直平分线方程为y－
＝
，②
由①②得x＝，y＝
，
即m＝，n＝.
∵P(m，n)在直线x＋y＝0上，
∴＋＝0(1＋b)(b－c)＝0.
∵1＋b>0，
∴b＝c.
由b2＝1－c2得b2＝
，
∴椭圆的方程为x2＋
＝1.
【题目】如图，在直角坐标系
中，椭圆
的上焦点为
，椭圆
的离心率为
，且过点
.
（1）求椭圆
的方程.
（2）设过椭圆
的上顶点
的直线
与椭圆
交于点
（
不在
轴上），垂直于
的直线与
交于点
，与
轴交于点
，若
，且
，求直线
的方程.
【题目】某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间，对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 | 分组 | 人数(单位：人) |
第一组 | [20,25) | 2 |
第二组 | [25,30) | a |
第三组 | [30,35) | 5 |
第四组 | [35,40) | 4 |
第五组 | [40,45) | 3 |
第六组 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并画出频率分布直方图；
(Ⅱ)在统计表的第五与第六组的5人中，随机选取2人，求这2人的年龄都小于45岁的概率．
